Ejercicio prácticos | Prueba de hipótesis sobre la media

Ejercicio resuelto de prueba de hipotesis sobre la media #1

La duración de las bombillas de $100$ watt que fabrica una empresa sigue una distribución normal con una desviación de $120$ horas. Su vida media está garantizada durante un mínimo de 800 horas.

Se escoge al azar una muestra de $50$ bombillas de un lote y, después de comprobarlas, se obtiene una vida media de $750$ horas.

a) Con un nivel de significación de $0,01$, ¿habría que rechazar el lote por no cumplir la garantía?

b) ¿Cuál es la probabilidad de cometer el error tipo II si el tiempo medio de vida de las bombillas es $790$ horas?

Resolución del ejercicio 2

ÍTEM A

Queremos hacer una prueba de hipotesis sobre la media de la duración de las bombillas. ¿Durán en promedio más de 800 horas o menos?

La variable es $X$: duración (en horas) de una bombilla de $100$ watts, fabricada por cierta empresa.

Se sabe que:

$$X\sim N\left(\mu =?;\sigma =120\right)$$

No conocemos el valor de la media. Pero sí conocemos la media muestral de una muestra de tamaño $50$:

$$n=50;\overline{x}=750$$

A primera vista parecería que las bombillas están durando menos que lo prometido por el fabricante. (El fabricante garantiza que duran en promedio $800$ horas o más y obtuvimos una media muestral de $750$ horas.)

Pero no podemos tomar la decisión “a ojo”.

Tenemos que realizar una prueba de hipótesis.

Vamos a hacer la prueba de hipótesis realizando los pasos recomendados.

No es necesario escribir todos estos pasos, pero lo hacemos porque lo hace mucho más fácil de entender.

Paso 1: Definir la variable.

X: duración (en horas) de una bombilla de $100$ watts, fabricada por cierta empresa.

$$X\sim N\left(\mu =?;\sigma =120\right)$$

Paso 2: Plantear las hipótesis estadísticas

El fabricante afirma que duran $800$ horas o más:

$$H_0:\mu \ge 800$$

Queremos contrastar esa hipótesis con:

$$H_1:\mu <800$$

Paso 3: Establecer un estadístico de prueba.

En este caso hay dos posibles. Que son equivalentes.

Cómo $X\sim N$ y $\sigma$ es conocida, conocemos la distribución de la variable media muestral:

$$\overline{X}\sim N\left(\mu ,\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right)$$

Este es un estadístico de prueba adecuado.

Pero también se puede estandarizar esta variable, y obtener:

$$\frac{\overline{X}–\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\sim N\left(0,1\right)$$

Cualquiera de los dos sirve.

(Son básicamente el mismo. En un caso está estandarizada la variable normal y en el otro no está estandarizada).

Vamos a usar los dos para poder explicar cómo se hace con ambos.

Pero no es necesario que usen los dos.

Paso 4: Seleccionar un nivel de significación

El enunciado determina que:

$$\alpha =0,01$$

Paso 5: Determinar la zona de rechazo y la regla de decisión

Cómo la hipótesis alternativa afirma que $\mu$ es menor que un cierto valor, entonces decimos que la prueba es unilateral izquierda: la zona de rechazo queda ubicada a la izquierda.

La distribución de ambos estadísticos es normal.

Así que el diagrama con la distribución del estadístico y la zona de rechazo a izquierda es así:

Pero ahora queremos determinar exactamente cuál es la región de rechazo. ¿Cuál es el valor de la abscisa que define la región de rechazo?

Si usamos el estadístico de prueba $\frac{\overline{X}–\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\sim N\left(0,1\right)$ el diagrama con la zona de rechazo unilateral izquierda y el nivel de significación sería así:

¿Cuál es el valor de la variable normal estándar que acumula una probabilidad de $0,01$ a su izquierda?

$$z_{0,01}=–2,33$$

(Eso se busca en la tabla de la normal estándar o usando software)

Entonces la regla de decisión es:

• Rechazo $H_0$ si $e_p\le –2,33$.
• No rechazo $H_0$ si $e_p>–2,33$.

Si quisiéramos usar el otro estadístico de prueba posible $\overline{X}\sim N\left(800,\frac{120}{\sqrt{50}}\cong 16,97\right)$, la lógica es exactamente la misma:

Pero ¿cómo averiguamos el valor crítico ${\overline{X}}_C$ que acumula una probabilidad de $0,01$ a su izquierda?

-Opción 1: usando software cómo Probability Distributions (para Android) o GeoGebra (para Windows).

-Opción 2: usando la tabla de probabilidad normal estándar. En general en un examen no se permite usar software. Así que no nos queda otra que esta opción. Veamos cómo es.

Si ${\overline{X}}_C$ es aquel valor que acumula una probabilidad de $0,01$ a su izquierda, entonces al estandarizarlo obtendremos $z_{0,01}=–2,33$:

$$–2,33=\frac{{\overline{X}}_C–800}{\frac{120}{\sqrt{50}}}$$

De acá podemos despejar ${\overline{X}}_C$:

$$\Rightarrow {\overline{X}}_C=–2,33.\frac{120}{\sqrt{50}}+800\cong 760,46$$

Obtenemos que el valor crítico es ${\overline{X}}_C=760,46$. Luego la regla de decisión es:

• Rechazo $H_0$ si $\overline{X}\le 760,46$.
• No rechazo $H_0$ si $\overline{X}>760,46$.

Paso 6: Calcular el valor observado del estadístico de prueba

Usando el estadístico de prueba  $\overline{X}$:

El valor observado $\overline{X}=750$ pertenece a la zona de rechazo $\left(–\infty ;760,46\right)$.

Si usamos el estadístico estandarizado tenemos que realizar el siguiente cálculo:

$$e_{p,obs}=\frac{750–800}{\frac{120}{\sqrt{50}}}\cong –2,95$$

También ocurre que el valor observado ($–2,95$) pertenece a la zona de rechazo $\left(–\infty ;–2,33\right)$.

Paso 7: Obtener la conclusión

Decidimos rechazar la hipótesis nula.

La conclusión podría ser:

“Con un nivel de significación del $1\%$ hay evidencias suficientes para afirmar que la media de la duración de las bombillas es inferior a $800$ horas.”

ÍTEM B

En este ítem tenemos que pensar que en realidad la verdadera media es $\mu =790$.

Entonces la distribución de la media muestral es:

$$\overline{X}\sim N\left(790;\frac{120}{\sqrt{50}}\right)$$

Cómo el error de tipo II es: no rechazar la hipótesis nula cuando esta es falsa, la probabilidad de cometer el error de tipo II es:

$$\beta =P\left(errortipoII\right)=P\left(NoR{H}_0|H_{0}esF\right)$$

Pero “no rechazar la hipótesis nula” sería que el estadístico no caiga en zona de rechazo.

Es decir que $\overline{X}>760,46$.

Entonces la probabilidad es:

$$\Rightarrow P\left(\overline{X}>760,46|\mu =790\right)$$

$$\Rightarrow P\left(Z>\frac{760,46–790}{\frac{120}{\sqrt{50}}}\right)$$

$$\Rightarrow P\left(Z>–1,74\right)=1–P\left(Z<–1,74\right)=0,9591$$

En el siguiente diagrama mostramos en color azul la distribución de $\overline{X}$ si $\mu =800$ y en color rojo la distribución de $\overline{X}$ si $\mu =790$.

El área de la región azul bajo la curva azul es la probabilidad de error de tipo I.

El área de la región roja bajo la curva roja es la probabilidad de error de tipo II.

La región sobre el eje marcada con color rojo es la zona de rechazo.