Prueba de Hipótesis para la media y diferencia de medias.

Caso 1:

Si las condiciones son:

• La variable X tiene distribución normal
• Conocemos el desvío estándar poblacional $\sigma$

Entonces el estadístico que se usa es:

$$\frac{\overline{X}–\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N\left(0,1\right)$$

Caso 2:

Si las condiciones son (lo único que cambia es que no conocemos el desvío poblacional):

• La variable X es normal
• No conocemos el desvío estándar poblacional $\sigma$, así que lo estimamos usando el desvío estándar muestral $S$

Usamos:

$$\frac{\overline{X}–\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t_{n–1}$$

La distribución es t de student con n-1 grados de libertad. Acá cuentan la anécdota de por qué $t$ de Student.

Caso 3:

Por último si las condiciones son:

• La variable X no sabemos que distribución tiene (puede ser cualquier distribución)
• Conocemos el desvío estándar poblacional $\sigma$
• El tamaño de la muestra debe ser grande $n\ge 30$

Usamos:

$$\frac{\overline{X}–\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\approx N\left(0,1\right)$$

La distribución en este caso no es exactamente normal, sino APROXIMADAMENTE normal.

¿Por qué? Porque tenemos que usar el teorema central del límite para conocer la distribución de $\overline{X}$. Y el teorema dice que $\overline{X}$ tiende a la distribución normal en la medida en que $n$ crece… pero no que tiene “exactamente” la distribución normal.

También se suele usar esta distribución aproximada si no se conoce $\sigma$:

$$\frac{\overline{X}–\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\approx N\left(0,1\right)$$

Entonces resumiendo: